电磁学基础理论

1.电荷计算公式

根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为

q=∫Vρ(r⃗)dVq=\int_{V}\rho(\vec{r})dVq=∫V​ρ(r)dV

如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q 为

q=∫SρS(r⃗)dSq=\int_{S}\rho_S(\vec{r})dSq=∫S​ρS​(r)dS

如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为

q=∫Cρl(r⃗)dlq=\int_{C}\rho_l(\vec{r})dlq=∫C​ρl​(r)dl

2.电流公式

i=lim⁡Δt→0ΔqΔt=dqdti=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}i=Δt→0lim​ΔtΔq​=dtdq​

电流密度矢量J⃗\vec{J}J

J⃗=e⃗nlim⁡ΔS→0ΔiΔS=e⃗ndidS\vec{J}=\vec{e}_n\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta S}=\vec{e}_n\frac{di}{dS}J=en​ΔS→0lim​ΔSΔi​=en​dSdi​

流过任意曲面S 的电流为

i=∫SJ⃗⋅dS⃗i=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}i=∫S​J⋅dS

面电流密度矢量J⃗S\vec{J}_SJS​

J⃗S=e⃗tlim⁡Δl→0ΔiΔl=e⃗tdidl\vec{J}_S=\vec{e}_t\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta l}=\vec{e}_t\frac{di}{dl}JS​=et​Δl→0lim​ΔlΔi​=et​dldi​

通过薄导体层上任意有向曲线l⃗\vec{l}l的电流为

i=∫lJ⃗S⋅(e⃗n×dl⃗)i=\int_l \vec{J}_S\cdot (\vec{e}_n\times d\vec{l})i=∫l​JS​⋅(en​×dl)

3.电荷守恒定律

电流连续性方程

积分形式:∮SJ⃗⋅dS=−dqdt=−ddt∫VρdV\oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho dV∮S​J⋅dS=−dtdq​=−dtd​∫V​ρdV

(流出闭合面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量)

微分形式:∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅J=−∂t∂ρ​

4.库仑（Coulomb）定律

真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:

F⃗12=e⃗Rq1q24πε0R122=q1q2R⃗124πε0R123\vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}}F12​=eR​4πε0​R122​q1​q2​​=4πε0​R123​q1​q2​R12​​

电场强度

定义式

E⃗(r⃗)=lim⁡q0→0F⃗(r⃗)q0\vec{E}(\vec{r})=\lim\limits_{q_0\rightarrow 0}\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}E(r)=q0​→0lim​q0​F(r)​

静电场的散度和旋度

静电场的散度（微分形式）：

∇⋅E⃗(r⃗)=ρ(r⃗)ε0\nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}∇⋅E(r)=ε0​ρ(r)​(推导见书P43)

静电场的高斯定理(积分形式)：

∮SE⃗(r⃗)⋅dS⃗=1ε0∫Vρ(r⃗)dV\oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV∮S​E(r)⋅dS=ε0​1​∫V​ρ(r)dV

高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。

静电场的旋度（微分形式）：

∇×E⃗(r⃗)=0\nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0∇×E(r)=0

静电场的环路定理(积分形式)：

∫cE⃗(r⃗)⋅dl⃗=0\int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0∫c​E(r)⋅dl=0

环路定理表明:静电场是无旋场，是保守场，电场力做功和路径无关

5.安培力定律

真空中的载流回路C1对 载流回路C2的作用力

F⃗12=μ04π∫C2∫C1I2dl⃗2×(I1dl⃗1×R⃗12)R123\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}F12​=4πμ0​​∫C2​​∫C1​​R123​I2​dl2​×(I1​dl1​×R12​)​

磁感应强度

根据安培力定律，有

F⃗12=∫C2I2dl⃗2×μ04π∫C1(I1dl⃗1×R⃗12)R123=∫C2I2dl⃗2×B⃗1(r⃗2)\vec{F}_{12}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2)F12​=∫C2​​I2​dl2​×4πμ0​​∫C1​​R123​(I1​dl1​×R12​)​=∫C2​​I2​dl2​×B1​(r2​)

其中B⃗1(r⃗2)=μ04π∫C1(I1dl⃗1×R⃗12)R123\vec{B}_1(\vec{r}_2)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}B1​(r2​)=4πμ0​​∫C1​​R123​(I1​dl1​×R12​)​

电流I1I_1I1​在电流元I2dl⃗2I_2d\vec{l}_2I2​dl2​处产生的磁感应强度

磁场的散度和旋度

恒定场的散度(微分形式)：

∇⋅B⃗(r⃗)=0\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0∇⋅B(r)=0在这里插入代码片

磁通连续性原理(积分形式):

∫SB⃗(r⃗)⋅dS⃗=0\int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0∫S​B(r)⋅dS=0

磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线

恒定磁场的旋度(微分形式):

∇×B⃗(r⃗)=μ0J⃗(r⃗)\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r})∇×B(r)=μ0​J(r)

安培环路定理(积分形式):

∮CB⃗(r⃗)⋅dl⃗=μ0∫SJ⃗(r⃗)⋅dS⃗=μ0I\oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I∮C​B(r)⋅dl=μ0​∫S​J(r)⋅dS=μ0​I

安培环路定理表明:恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源